E=mc^2 的简单推导

相对论的质能方程简单推导过程,参考Miniute Physics的一个视频写的。

\[ E = mc^2 \]

发光的猫 Radioactive Cat

一只发光的猫,它所发出的光能为\(E\),那么这只猫必然损失相应的能量\(E\)

但是这只猫的速度没有变化(你可以变化你的速度来调整你所观察到的猫的相对速度),它的动能没有变化,那么这些能量来自哪里?

多普勒效应

假设你现在在一艘宇宙飞船上观察这只发光的猫。

根据多普勒效应,你所观察到的光波会有红移或者蓝移的现象发生。红蓝表示着光波的不同频率,而光的能量直接与频率相关。

那么对你而言,假设你与发光的猫相对静止时测到的光能为\(E\),那么你与它以相对速度\(v\)相向运动时测到的光能则为\(E\cdot(1 + \frac{v^2}{2c^2})\)

光所发出的能量对你而言变了。

哪里来的能量?

也许此时你会发现猫的总能量因为你的运动而增加了?是不是真的是这样呢?看下面一副图。

extra energy

我们以4个状态来分析这附图。

左上:猫相对你静止,没有发光;
右上:猫相对你运动,没有发光;
左下:猫相对你静止,正在发光;
右下:猫相对你运动,正在发光。

从左上到右下有两条路径可走:

  1. 经过右上
    能量变化为 \( +KE_1 + -E\cdot(1 + \frac{v^2}{2c^2}) \)

  2. 经过左下
    能量变化为 \( -E + KE_2 \)

这两条路径所产生的能量差应该是相等的,即: \[ KE_1 - E\cdot(1 + \frac{v^2}{2c^2}) = -E + KE_2 \]

整理后可得 \[ E\cdot\frac{v^2}{2c^2} + KE_2 = KE1 \]

带入动能定理\(KE = \frac{1}{2}mv^2 \),等式展开成 \[ E\cdot\frac{v^2}{2c^2} + \frac{1}{2}m_2{v_2}^2 = \frac{1}{2}m_1{v_1}^2 \]

由于两条路径相对猫的运动速度相同,\( v_1 == v_2 \),那么是什么造成了\( E\cdot\frac{v^2}{2c^2} \)的能量差呢?

难不成质量\( m \)会变?

不要默守陈规

对相对论有一点了解的同学都已经知道:是的,质量发生了变化。

但是在当时,在经典力学作为基本前提的年代下,如果不考虑光的能量因为多普勒效应产生了变化,质量不变的假设过强,有多少人都在这一个等号面前止步了。

然而爱因斯坦说, \( m_1 \neq m_2 \),于是就有了质能方程。

本推导故事纯属虚构,当时的情况并不是这样的。

参考

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